三角函数的诱导公式（三角函数诱导公式表格汇总）

三角函数的诱导公式一共有54个，其中绝大多数公式又有角度制和弧度制两种表达形式，将这些公式分为六组，每组中的公式具有类似的规律。通过分类归纳，有利于更系统地掌握这些诱导公式。不管是哪一组公式，都要先设一个任意角度α，围绕着这个α来表示这些公式。以下以弧度制为例，介绍各组公式的详情。

第一组公式完全就是周期性的运用，因为常用的三角函数有相同的周期2kπ（k为任意整数），但2kπ未必是唯一的周期。不过根据周期函数的定义，都有：

sin(2kπ+α)=sinα；cos(2kπ+α)=cosα；tan(2kπ+α)=tanα；cot(2kπ+α)=cotα；sec(2kπ+α)=secα；csc(2kπ+α)=cscα。（k∈Z）

在几何意义上，第一组公式表示终边相同的角，三角函数值都相等。

第二组公式是π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系。

一方面正切和余切都以π为最小正周期，所以tan(π+α)=tanα；cot(π+α)=cotα。

另一方面由正弦函数和余弦函数的定义公式，以及它们在坐标平面上的意义，可以推知sin(π+α)=-sinα；cos(π+α)=-cosα，又由正割与余弦的互为倒数关系，以及余割与正弦的互为倒数关系，就可以知道sec(π+α)=-secα；csc(π+α)=-cscα。

在几何意义上，第二组公式表示终边形成平角的两个角的三角函数关系。

第三组公式是互为相反的两个角的三角函数值的关系。由正弦、正切、余切和余割的奇函数性质，以及余弦、正割的偶函数性质，有：

sin(-α)=-sinα；cos(-α)=cosα；tan(-α)=-tanα；cot(-α)=-cotα；sec(-α)=secα；csc(-α)=-cscα.

在几何意义上，第三组公式表示终边关于始边对称的两个角的三角函数关系。

第四组公式是π-α和α的三角函数值之间的关系，由第三组公式结合第二组公式推得，即：

sin(π-α)=sinα；cos(π-α)=-cosα；tan(π-α)=-tanα；cot(π-α)=-cotα；sec(π-α)=-secα；csc(π-α)=cscα.

在几何意义上，第四组公式表示互补的两个角的三角函数关系。

第五组公式是2π-α和α的三角函数值之间的关系，由第一组公式和第三组公式推得，即

sin(2π-α)=sin(-α)=-sinα；cos(2π-α)=cos(-α)=cosα；tan(2π-α)=tan(-α)=-tanα；cot(2π-α)=cot(-α)=-cotα；sec(2π-α)=sec(-α)=secα；csc(2π-α)=csc(-α)=-cscα.

在几何意义上，第五组公式表示两个角的和是周角时，两者的三角函数关系。

最后一组公式是π/2±α 以及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系，很明显，这里面又可以分成四种情况：

(1)π/2-α 与α的三角函数值之间的关系：由三角函数最原始的定义，在直角三角形中，两个锐角的三角函数有如下关系：

sin(π/2-α)=cosα；cos(π/2-α)=sinα；tan(π/2-α)=cotα；cot(π/2-α)=tanα；sec(π/2-α)=cscα；csc(π/2-α)=secα.

如果认为钝角的余角是负角度的话，那么它们表示互余的两个角的三角函数关系。(不过一般认为钝角没有余角)

(2)π/2+α 与α的三角函数值之间的关系，由公式(1)结合第四组公式推得，即：

sin(π/2+α)=cosα；cos(π/2+α)=-sinα；tan(π/2+α)=-cotα；cot(π/2+α)=-tanα; sec(π/2+α)=-cscα；csc(π/2+α)=secα.

在几何意义上，表示终边互相垂直的两个角的三角函数关系：(终边互相垂直有两种情形)

(3)3π/2-α与α的三角函数值之间的关系，由公式(1)结合第二组公式推得，即：

sin(3π/2-α)=-cosα；cos(3π/2-α)=-sinα；tan(3π/2-α)=cotα；cot(3π/2-α)=tanα；sec(3π/2-α)=-cscα；csc(3π/2-α)=-secα.

在几何意义上，表示终边关于y=-x对称的两个角的三角函数关系：

(4)3π/2+α与α的三角函数值之间的关系，由公式(2)结合第二组公式推得，即：

sin(3π/2+α)=-cosα；cos(3π/2+α)=sinα；tan(3π/2+α)=-cotα；cot(3π/2+α)=-tanα；sec(3π/2+α)=cscα；csc(3π/2+α)=-secα.

在几何意义上，表示终边互相垂直的两个角的三角函数关系的另一种情形：

最后把这些诱导公式全部归纳成表格如下：

这个表格包括行标题：组别，弦度，以及对应的六种常用三角函数。列标题是组别序号，副标题是各弧度。按照第一行第一列是sinα算起，如果要知道cos(2π-α)对应的诱导公式，就找到第五行第二列对应α的三角函数，这个函数是cosα，因此cos(2π-α)=cosα。把表设计成这种形式，会更简洁，且便于查阅。